Saurez-vous trouver pourquoi 25 – 55 + (85 + 65) = 5! ?????

problème maths mathématiques énigme factorielle Saurez-vous trouver pourquoi 25 - 55 + (85 + 65)

 

Vous vous dites ce mec est fou ! Ou ne sait pas compter ?

Pour vous 25 – 55 + (85 + 65) = 120 ? Et bien je persiste et signe, 25 – 55 + (85 + 65) = 5!

 

Solution

 

Allez je vous donne la solution. En fait c’est juste une question de notation mathématique. Le point d’exclamation (!) en mathématiques désigne la factorielle.

La factorielle d’un entier naturel* n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. Par exemple, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 (le produit c’est grosso modo la multiplication).

Eh oui, 5! = 120 :), parceque 5! c’est en fait en mathématiques « 5 factorielle » ou « factorielle 5 » ou « factorielle de 5 ».

Donc vous aviez aussi raison, 25 – 55 + (85 + 65) = 120, et je n’ai jamais dit le contraire, mais vous aviez tord quand vous pensiez que ce n’était pas égal à 5! 😉

 

Pour les plus malins

 

Les plus malins d’entre vous se posent déjà des questions comme « Ã  quoi ça sert » ou « factorielle de 0 alors ? Ça vaut combien ? », et ce sont de super questions !

 

À quoi ça sert : c’est une notation introduite en 1808 par le mathématicien français Christian Kramp. Attention, il a juste introduit cette notation pour les entiers naturels, la notion de factorielle existait déjà depuis longtemps. Elle est très utile pour faire de la combinatoire, du dénombrement, des statistiques (c’est top si vous jouez au poker par exemple). Pourquoi ? Tout simplement parceque n! c’est le nombre de permutations possibles entre n objets, ça donne le nombre de combinaisons possibles de n objets quand on ne peut pas utiliser 2 fois le même objet. Exemple : notre alphabet possède 26 lettres, si on utilise les 26 une seule fois chacune, ça fait 26! combinaisons possibles soit quand même : 403291460000000000000000000, soit des centaines de millions de milliards de milliards.

 

Existe t’il une notion de factorielle pour des nombres non entiers, ou des nombres négatifs ? Eh bien oui mais là vous compliquez un peu. C’est la fonction gamma (notée Γ ou G) du mathématicien Euler. En cliquant ici un très beau tutoriel à son propos.

 

Combien vaut 0! ? Par convention, on a défini que 0! vaut 1, donc 0! = 1! = 1. Pourquoi ? Parce que ça simplifie les calculs et ça ne crée pas de contradictions (après tout les mathématiques c’est aussi l’art de ne jamais se contredire). Cette convention vient d’une autre convention mathématique qui dit que : les sommes vides (pas genre 0 + 0 – égale la tête à toto hihihi… ok je sors – mais plutôt « rien + rien », j’ai bien dit vides) valent 0, et les produits vides (le résultat d’une multiplication d’aucun nombre) valent 1. Une convention ce n’est pas un truc qu’on prouve mais plutôt quelque chose qu’on arrête, qu’on décide d’un commun accord, parce que ça semble de bon sens ou/et que ça permet de poser une base stable et cohérente pour la suite.

C’est vrai que l’on peut voir passer beaucoup de tentatives de justification ou de démonstration sur Internet, alors comme vous êtes curieux je vais quand même vous en donner une, mais retenez bien que ce ne sont que des spéculations.

. La fameuse fonction gamma, qui généralise la notion de factorielle, donne Gamma(n+1) = n! quelque soit n, même pour n = 0. Donc comme Gamma(1) = Gamma(0 + 1) = 1 = 0!, eh bien 0! = 1. CQFD… ou pas.

 

Petites définitions utiles :

Un nombre entier c’est à dire un « nombre rond » sans chiffre(s) après la virgule (ou alors, si on écrit les chiffres après la virgule, ils sont tous égaux à 0. Par exemple 5 est un nombre entier, mais si ça vous fait plaisir vous pouvez l’écrire 5,0.

Un entier naturel c’est un nombre entier qui est positif ou nul (donc un sous ensemble des nombres entiers). Ce sont les nombres qui servent à compter, les nombres de l’ensemble {0, 1, 2, 3 … }.

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